Differential Geomtry in Sage
Chapter 1. Curves
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要输出漂亮的数学公式有几种方法： 1. 用pretty_print_default()； 2. 勾选会话上面的Typeset； 3. 用show()。 注意：要输出漂亮的数学公式，首先必须安装jsmath字体。Ubuntu用户直接在仓库里安装即可，Win用户到这里下载字体，然后解压，将字体文件拷贝到WINDOWS的Fonts目录即可。建议使用火狐浏览器，因为在ie里公式有些错位。
pretty_print_default(True)
var('x,y')
x^3/(y*sin(x))
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{x^{3}}{y \sin\left(x\right)}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{x^{3}}{y \sin\left(x\right)}
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pretty_print_default(False)
x^3/(y*sin(x))
x^3/(y*sin(x)) x^3/(y*sin(x)) |
a=x^3/(y*sin(x))
a.show()
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定义三个向量的混合积：
（注意：带有#auto的元组，在工作表打开时自动运行）
#auto
def triple_product(u,v,w):
A=u.cross_product(v)
B=A.dot_product(w)
return B
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定义一个函数求相对曲率
\kappa_r(x,y)=\frac{x'y''-x''y'}{[(x')^2+(y')^2]^{3/2}}
def relka(x,y):
xp=diff(x,t)
xpp=diff(xp,t)
yp=diff(y,t)
ypp=diff(yp,t)
rk=(xp*ypp-xpp*yp)/(xp^2+yp^2)^(3/2)
return rk
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例：求曲线C:x=\cos t,y=\sin t的相对曲率。
t=var('t')
A=relka(cos(t),sin(t))
A.subs(t=0)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1
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例：求曲线C:x=a\cos t,y=b\sin t的相对曲率。
var('a,b')
x=a*cos(t)
y=b*sin(t)
relka(x,y).subs(t=0).full_simplify()
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{a}{b {\left| b \right|}}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{a}{b {\left| b \right|}}
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定义空间曲线的曲率：
\kappa=\frac{|r'\times r''|}{|r'|^3}
def kappa3(r):
rp=diff(r,t)
rpp=diff(rp,t)
a=rp.cross_product(rpp).norm()
b=rp.norm()
return a/b^3
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例：计算曲线C:r=(a\cos t,a\sin t,bt)的曲率。
var('a,b,t')
r=vector((a*cos(t),a*sin(t),b*t))
kappa3(r)
kappa3(r).subs(t=0).full_simplify()
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{a}{a^{2} + b^{2}}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{a}{a^{2} + b^{2}}
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定义空间曲线的挠率：
\tau=\frac{(r',r'',r''')}{|r'\times r''|^2}
def tau(r):
rp=diff(r,t)
rpp=diff(rp,t)
rppp=diff(rpp,t)
a=triple_product(rp,rpp,rppp)
b=rp.cross_product(rpp).norm()
return a/b^2
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例：计算曲线C:r=(a\cos t,a\sin t,bt)的挠率。
var('a b t')
r=vector((a*cos(t),a*sin(t),b*t))
tau(r).full_simplify()
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{b}{b^{2} \sin\left(t\right)^{2} + b^{2} \cos\left(t\right)^{2} + a^{2}}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{b}{b^{2} \sin\left(t\right)^{2} + b^{2} \cos\left(t\right)^{2} + a^{2}}
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var('a b t')
r=vector((a*cos(t),a*sin(t),b*t))
tau(r).full_simplify().full_simplify()
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{b}{a^{2} + b^{2}}
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{b}{a^{2} + b^{2}}
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空间曲线C:r=(x(t),y(t),z(t))的三个基本向量：
\left\{ \begin{aligned} & {\alpha}=\frac{{r}'}{\vert{r}'\vert},\\
& {\beta}=\frac{({r}'\cdot{r}){r}''-({r}'\cdot{r}''){r}'}{\vert{r}'\vert\cdot\vert{r}'\times{r}''\vert},\\
& {\gamma}=\frac{{r}'\times{r}''}{\vert{r}'\times{r}''\vert}.\end{aligned}
\right.
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曲线C:r=(x(t),y(t),z(t))在t=t_0处的密切平面方程为：
\left|\begin{array}{ccc}
X-x(t_{0}) & Y-y(t_{0}) & Z-z(t_{0})\\
x'(t_{0}) & y'(t_{0}) & z'(t_{0})\\
x''(t_{0}) & y''(t_{0}) & z''(t_{0})\end{array}\right|=0.
def osculating_plane(r):
rp=diff(r,t)
rpp=diff(rp,t)
var('X Y Z')
A=Matrix(SR,[[X-r[0],Y-r[1],Z-r[2]],[rp[0],rp[1],rp[2]],[rpp[0],rpp[1],rpp[2]]])
return det(A)==0
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var('a b t')
r=vector((a*cos(t),a*sin(t),b*t))
osculating_plane(r)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(b t - Z\right)} a^{2} \sin\left(t\right)^{2} - {\left(a \cos\left(t\right) - X\right)} a b \sin\left(t\right) - {\left({\left(b t - Z\right)} a \cos\left(t\right) - {\left(a \sin\left(t\right) - Y\right)} b\right)} a \cos\left(t\right) = 0
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(b t - Z\right)} a^{2} \sin\left(t\right)^{2} - {\left(a \cos\left(t\right) - X\right)} a b \sin\left(t\right) - {\left({\left(b t - Z\right)} a \cos\left(t\right) - {\left(a \sin\left(t\right) - Y\right)} b\right)} a \cos\left(t\right) = 0
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曲线C:r=(x(t),y(t),z(t))在点t=t_0的法平面方程为：
x'(t_0)(X-x(t_0))+y'(t_0)(Y-y(t_0))+z'(t_0)(Z-z(t_0))=0.
def normal_plane(r):
rp=diff(r,t)
var('X Y Z')
neq=rp[0]*(X-r[0])+rp[1]*(Y-r[1])+rp[2]*(Z-r[2])==0
return neq
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例：求曲线C:r=(a\cos t,a\sin t,bt)的法平面方程。
var('a b t')
r=vector((a*cos(t),a*sin(t),b*t))
eq=normal_plane(r)
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eq.subs(t=0)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}Y a + Z b = 0
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}Y a + Z b = 0
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normal_plane(r)
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(a \cos\left(t\right) - X\right)} a \sin\left(t\right) - {\left(a \sin\left(t\right) - Y\right)} a \cos\left(t\right) - {\left(b t - Z\right)} b = 0
\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(a \cos\left(t\right) - X\right)} a \sin\left(t\right) - {\left(a \sin\left(t\right) - Y\right)} a \cos\left(t\right) - {\left(b t - Z\right)} b = 0
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